Fonctions numériques usuelles

Exo 1

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit une partie non vide de .

On note l'ensemble des applications de dans qui vérifient : .

Question

Démontrer que si , alors ne contient que la fonction nulle.

Indice

Appliquez la relation pour une valeur particulière de .

Solution

Si appartient à , pour : , donc .

Conclusion : est la fonction nulle sur .

Question

Démontrer que si , alors les fonctions sont paires.

Indice

Calculez et .

Solution

Si appartient à , pour et : , donc : .

Et pour et : , donc : .

Donc, pour : .

Conclusion : Les fonctions sont paires.

On suppose maintenant que et soit une fonction continue en qui appartient à .

Question

Démontrer que est continue sur .

Indice

Pour tout , calculez .

Solution

Soit . On a : .

La fonction : est continue sur et est continue en .

Donc par composition, est continue en , donc est continue en .

Conclusion : La fonction est continue sur .

Remarque

La conclusion serait la même si l'on supposait la continuité de en un autre point que .

Question

Démontrer que est dérivable sur .

Indice

Exprimez à l'aide d'une primitive de sur .

Solution

La fonction est continue sur , donc elle possède une unique primitive sur qui s'annule en .

Pour tout , les fonctions et sont continues sur .

Elles sont donc intégrables sur et : .

Or : .

Et : par changement de variable .

Donc pour tout , on a : .

Or la fonction est dérivable sur .

Conclusion : La fonction est dérivable sur .

Question

Démontrer qu'il existe un réel tel que : .

Indice

Utilisez l'expression précédente.

Solution

D'après ce qui précède : .

Donc en dérivant : .

Or : . Donc : .

Conclusion : Il existe un réel tel que .

Réciproquement, soit une fonction dérivable sur vérifiant et pour laquelle il existe un réel tel que : .

Question

Démontrer que appartient à .

Indice

Démontrez que, pour tout , la fonction est constante.

Solution

On fixe et l'on pose : .

La fonction est dérivable sur par composition et somme.

.

Donc la fonction est constante sur . Or : .

Donc est la fonction nulle. Donc : .

Conclusion : La fonction appartient à .

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