Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Démontrer que :
.
Utilisez la formule de Taylor-Lagrange[1].
La fonction
:
est de classe
sur
.
, donc :
.
On applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre
entre
et
.
Pour tout réel
et tout entier naturel
, il existe un réel
tel que
.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc :
.
Conclusion :
.
Remarque :
On retrouve la convergence de la série
, dont la somme est
.
Question
En déduire une valeur décimale approchée de
à
près.
Choisissez
pour que l'encadrement précédent donne une valeur approchée à
près.
Pour
, on obtient :
.
Or :
. Donc :
.
Pour que
soit une valeur approchée de
à
près, il suffit que
, donc que
.
Donc il suffit de prendre
.
Or :
.
Donc :
, donc :
.
Or :
, donc :
, donc :
.
Et :
. Donc :
.
Conclusion : Une valeur décimale approchée de
à
près est
.
