Dérivation des fonctions numériques (1)

Exo 13

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Etant donnés des réels , ..., strictement positifs, on définit :

  • leur moyenne arithmétique .

  • leur moyenne géométrique .

  • leur moyenne quadratique .

  • leur moyenne harmonique telle que .

Question

Comparer la moyenne géométrique avec la moyenne arithmétique .

Indice

Utilisez la convexité d'une fonction.

Solution

On peut remarquer que : .

Or la fonction est concave sur .

Donc, d'après l'inégalité de convexité : , donc : .

Conclusion : .

Question

Comparer avec .

Indice

Utilisez la convexité d'une fonction.

Solution

On peut remarquer que : .

Or la fonction est convexe sur .

Donc, d'après l'inégalité de convexité : , donc : .

Conclusion : .

Question

Comparer avec .

Indice

Utilisez la convexité d'une fonction.

Solution

. Or la fonction est convexe sur .

Donc, d'après l'inégalité de convexité : , donc : .

Conclusion : .

Question

Conclure en rangeant par ordre croissant , , et .

Indice

Utilisez les questions précédentes.

Solution

On a donc : et . Il reste à comparer et .

est la moyenne arithmétique de , ..., .

Et la moyenne géométrique de , ..., est : .

D'après la première question : , donc : . Donc : .

Conclusion : .

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