Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions sont indépendantes.
Question
Démontrer l'inégalité :
.
Etudiez la convexité de la fonction sinus.
La fonction sinus est dérivable deux fois sur l'intervalle
.
et
, donc :
.
Donc la fonction sinus est concave sur
.
Donc sa courbe est située au dessus de la corde qui joint les points
d'abscisse
et
d'abscisse
, et en dessous de la tangente au point
.
La droite
a pour équation :
et la tangente en
a pour équation :
.
Conclusion :
.
Question
Démontrer l'inégalité :
.
Etudiez la convexité de la fonction tangente.
La fonction tangente est dérivable deux fois sur l'intervalle
et impaire.
et
, donc :
.
Donc la fonction tangente est convexe sur
.
Donc sa courbe est située au dessus de la tangente au point
d'abscisse
, qui a pour équation :
.
Donc :
, donc :
.
, donc :
. Or :
.
Conclusion :
.
