Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Démontrer que la fonction
est prolongeable par continuité en
, et étudier la dérivabilité de ce prolongement en
.
Déterminez les limites en
de la fonction
et de son taux d'accroissement.
La fonction
est définie sur
.
, donc :
, donc :
.
, donc :
, donc :
, donc :
.
La fonction
admet à gauche et à droite de
des limites finies et égales.
Conclusion : La fonction
est prolongeable par continuité en
en posant
.
. Donc :
et
.
Donc la fonction
(prolongée) admet en
un nombre dérivé à gauche
et un nombre dérivé à droite
qui sont différents.
Conclusion : La fonction
(prolongée) est dérivable à gauche et à droite en
, mais pas dérivable en
.
Sa courbe représentative admet au point
un point anguleux.
