Dérivée en un point
Soit
une fonction définie sur un intervalle
de
et à valeurs réelles ou complexes.
Définition :
La fonction
est dérivable en
si la fonction
admet une limite finie en
.
Le nombre dérivé de
en
est la limite :
.
Fondamental :
Propriétés :
La fonction
est dérivable en
si et seulement si il existe une constante
et une fonction
tels que :
et
.
Si
est dérivable en
, alors
est continue en
.Une fonction
à valeurs complexes est dérivable en
si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont dérivables en
.
Fondamental :
Interprétation géométrique (si
est à valeurs réelles)
Si la fonction
est dérivable en
, sa courbe représentative admet au point d'abscisse
une tangente dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de
en
.
Si
, une équation de la tangente au point d'abscisse
est :
.
Si le nombre dérivé en
est nul, la courbe admet au point d'abscisse
une tangente horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
Si la fonction
n'est pas dérivable en
, mais si
, alors la courbe représentative de
admet au point d'abscisse
une tangente verticale (parallèle à l'axe des ordonnées).
Définition :
La fonction
est dérivable à gauche en
si la fonction
admet une limite finie à gauche en
.Le nombre dérivé à gauche de
en
est la limite :
.La fonction
est dérivable à droite en
si la fonction
admet une limite finie à droite en
.Le nombre dérivé à droite de
en
est la limite :
.
Fondamental :
Propriétés
Si la fonction
est dérivable à gauche (à droite) en
, alors elle est continue à gauche (à droite) en
.Si la fonction
est définie à gauche et à droite de
, elle est dérivable en
si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite et si ses nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux.
Fondamental :
Interprétation géométrique (si
est à valeurs réelles)
Si
est dérivable à gauche en
, alors sa courbe représentative admet à gauche du point d'abscisse
une demi-tangente dont le coefficient directeur est
.
Si
est dérivable à droite en
, alors sa courbe représentative admet à droite du point d'abscisse
une demi-tangente dont le coefficient directeur est
.
Si
, le point d'abscisse
de la courbe représentative de
est un point anguleux.
Si la limite de la fonction
à gauche ou à droite de
est infinie, la courbe représentative de
admet au point d'abscisse
une demi-tangente verticale à gauche ou à droite.
Si les deux limites de la fonction
à gauche et à droite de
sont infinies, les deux demi-tangentes verticales peuvent être confondues (point de rebroussement) ou opposées (point d'inflexion).
