Continuité d'une fonction numérique

Exo 14

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit une fonction uniformément continue sur un intervalle .

Soit et deux suites d'éléments de .

Question

Démontrer que, si , alors .

Indice

Utilisez la définition de la continuité uniforme.

Solution

Soit . La fonction est uniformément continue.

Donc : .

Or : . Donc : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire que la fonction n'est pas uniformément continue sur .

Indice

Construisez deux suites et telles que et .

Solution

Pour démontrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue, il suffit donc de trouver deux suites et telles que et .

Pour tout entier naturel , on pose et .

Donc : .

Or : et . Donc : .

Conclusion : La fonction n'est pas uniformément continue sur .

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