Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions sont indépendantes.
Question
Résoudre l'équation :
.
Introduisez le réel
et calculez
et
.
L'équation est définie si et seulement si
et
, donc sur
.
Soit
. Donc :
et
.
Soit
. Donc :
et
.
Donc
si et seulement si
et
. Or :
.
Donc, si
est solution de l'équation, alors :
et
, donc :
.
Réciproquement, si
, alors :
, donc
appartient à
.
Donc :
et
.
Or :
, donc :
. Donc :
.
Conclusion : L'équation
a une unique solution :
.
Question
A quelles conditions sur
,
et
a-t-on :
?
Introduisez les réels
,
et
.
Et cherchez à quelle condition :
.
La relation est définie pour tous les réels
,
et
.
Les réels
,
et
appartiennent à
.
On a :
,
et
.
La relation équivaut à :
. Or :
et
.
Donc il faut que
, donc il faut que
, donc que
.
Or
,
et
jouent des rôles symétriques. Donc il faut que :
,
et
.
La fonction tangente est strictement croissante, donc injective sur
.
Donc :
équivaut à :
.
Or :
et :
.
Donc il faut que :
, donc que :
.
Réciproquement, on suppose que
avec
,
et
.
Donc
,
et
appartiennent à
.
Et :
, donc :
. Donc :
.
Donc :
, donc
, donc :
.
Or :
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La relation
est vérifiée si et seulement si
avec
,
et
.
Question
Démontrer que la série
est convergente et calculer sa somme.
Par récurrence, calculez la somme partielle d'ordre
de la série en fonction de
.
. Or :
.
Donc :
. Or la série
est une série de Riemann convergente (
).
Donc la série
est à termes positifs et majorée par une série convergente, donc elle converge.
Soit :
.
Donc :
, et donc :
.
Et :
, donc :
.
On conjecture que :
et on le démontre par récurrence.
Initialisation : Elle est déjà faite pour
(et même pour
).
Hérédité : Soit
tel que :
.
. Donc :
.
Donc :
.
Or :
. Donc :
.
Conclusion :
.
De plus :
. Or :
.
Donc :
, donc :
et
.
Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La série
est convergente et
.
