Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
A tout réel
, on associe le polynôme :
.
Question
Montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
Déterminez l'image de
par
.
Tout polynôme
de degré impair et de coefficient dominant
vérifie :
si
:
et
.si
:
et
.
Donc, puisque
est continu, l'image de
est :
.
Donc tout élément de
admet au moins un antécédent dans
par
.
Conclusion : Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
Question
Montrer que le polynôme
admet une unique racine réelle que l'on note
.
Etudiez le sens de variations de
.
Le polynôme
est de degré
. Il admet donc au moins une racine réelle.
Le polynôme est dérivable :
, donc :
.
Donc
est une fonction strictement croissante sur
, donc injective.
Donc tout élément de
admet au plus un antécédent dans
par
.
Conclusion : Le polynôme
admet une unique racine réelle
.
Question
Montrer que la fonction
est continue et monotone.
Démontrez que
est solution d'une équation de la forme :
.
On peut remarquer que :
. Donc :
.
De plus :
, donc
, puisque
est strictement croissante.
Soit
la fonction définie sur
par :
. Donc :
.
La fonction
est dérivable sur
et :
.
Donc la fonction
est continue et strictement décroissante sur
.
Donc elle réalise une bijection de
dans
.
Donc :
. Donc :
.
Donc la fonction
est la restriction de
à
.
Conclusion : La fonction
est continue et strictement décroissante sur
.
