Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Pour tout
, on note
la fonction définie sur
par :
.
Question
Démontrer que, pour tout entier
, l'équation
a deux solutions que l'on notera
et
avec :
.
Etudiez le sens de variations de la fonction
et utilisez le théorème de bijection.
La fonction
est continue et dérivable sur
et :
.
Donc
est continue et strictement décroissante sur
, donc réalise une bijection de
dans
. Or :
, donc
.
Donc :
. Donc l'équation
a une unique solution
dans
.
Et la fonction
est continue et strictement croissante sur
, donc réalise une bijection de
dans
. Or :
, donc
.
Donc :
. Donc l'équation
a une unique solution
dans
.
Conclusion : Pour tout entier
, l'équation
a deux solutions
et
, et
.
Question
Démontrer que la suite
est monotone, qu'elle converge et que :
.
Démontrez que l'équation
équivaut à une équation de la forme
.
Démontrez qu'une restriction de la fonction
réalise une bijection et utilisez les propriétés de sa réciproque.
On peut remarquer que :
, donc
, donc :
car
décroît sur
.
Sur
, l'équation
équivaut à
et posant :
.
La fonction
est continue et dérivable sur
et :
.
Donc
est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
.
Donc sa restriction
à l'intervalle
est bijective de
dans
.
Or :
(
), donc :
, donc :
car
décroît sur
.
Donc :
. Donc :
.
Or la fonction
est strictement décroissante et bijective de
dans
.
Donc la suite
est décroissante et :
.
Donc :
et
. Or :
.
Conclusion : La suite
est décroissante, elle converge vers
et
.
Question
Démontrer que la suite
est monotone, qu'elle diverge et que :
.
Utilisez la même méthode que dans la question précédente.
. Donc la suite
diverge vers
.
La restriction
de
à l'intervalle
est continue et strictement croissante, donc réalise une bijection de
dans
. Et :
.
Or la fonction
est strictement croissante. Donc la suite
est croissante.
.
Or :
, donc :
, donc :
. Or :
.
Conclusion : La suite
est croissante, elle diverge vers
et
.
