Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux fonctions continues sur un intervalle
telles que
.
Question
Démontrer que l'équation
admet au moins une solution dans
.
Etudiez le signe de la fonction
.
La fonction
est continue sur
, donc bornée :
.
Elle atteint ses bornes, donc il existe
tel que :
et
.
Or :
. Donc :
.
Donc :
et
.
et
sont continues sur
, donc la fonction
est continue sur
.
Elle prend une valeur
et une valeur
.
Donc la fonction
s'annule au moins une fois entre
et
.
Conclusion : L'équation
admet au moins une solution dans
.
En particulier, si
ou si
, l'équation
admet au moins une solution dans
.
