Image d'un intervalle par une fonction continue
Rappel :
Rappel : L'image d'une partie
par une application
est
.
Donc une équation de la forme
admet des solutions dans
si et seulement si
(pas forcément une unique solution).
Attention :
Dans ce qui suit, les fonctions sont à valeurs réelles.
Fondamental :
Théorème des valeurs intermédiaires
L'image d'un intervalle
par une fonction
continue sur
est un intervalle (pas forcément de même nature).
Conséquence : Si
est continue sur l'intervalle
et si
prend deux valeurs distinctes, elle prend au moins une fois toutes les valeurs intermédiaires.
En particulier, si elle prend une valeur positive et une valeur négative, elle s'annule au moins une fois sur
.
Fondamental :
L'image d'un segment
par une fonction
continue sur
est un segment.
Conséquence : Toute fonction continue sur un segment est bornée, atteint ses bornes et prend au moins une fois toute valeur comprise entre ses bornes.
Si la fonction
est continue sur un segment
, alors
.
Donc elle est bornée :
. De plus
et
appartiennent à
.
Donc la fonction
possède un minimum
qu'elle atteint : il existe
tel que
.
Et la fonction
possède un maximum
qu'elle atteint : il existe
tel que
.
Et tout réel
compris entre
et
appartient à
, donc il existe
tel que
.
Remarque : Une fonction
à valeurs complexes continue sur un segment
est aussi bornée puisque ses parties réelle et imaginaire sont bornées.
Fondamental :
Cas d'une fonction continue et strictement monotone
Si la fonction
est continue et strictement monotone sur un intervalle
, alors
est un intervalle de même nature (ouvert ou fermé) que
, obtenu en prenant les valeurs de
ou les limites de
aux bornes de
(il faut intervertir les bornes si
est décroissante) :
Si
est continue et strictement croissante sur
, alors
.Si
est continue et strictement décroissante sur
, alors
.Si
est continue et strictement croissante sur
(avec
réel ou infini), alors
.Si
est continue et strictement décroissante sur
(avec
réel ou infini), alors
.Si
est continue et strictement croissante sur
(avec
réel ou infini), alors
.Si
est continue et strictement décroissante sur
(avec
réel ou infini), alors
.Si
est continue et strictement croissante sur
(avec
et
réels ou infinis), alors
.Si
est continue et strictement décroissante sur
(avec
et
réels ou infinis), alors
.
Dans la pratique, pour déterminer l'image
, on partage
en intervalles sur lesquels la fonction
est continue et strictement monotone.
