Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
si
et
si
.
Question
Démontrez que tout réel
est limite d'une suite de rationnels et d'une suite d'irrationnels.
Utilisez les valeurs décimales approchées de
par défaut et par excès.
Pour
, il suffit de prendre la suite de rationnels
et la suite d'irrationnels extraite de la suite
obtenue en supprimant tous les termes où
est le carré d'un entier.
Soit
un réel non nul. On note :
. Donc :
.
Donc
est un rationnel et :
, donc :
.
Conclusion : Il existe une suite de rationnels qui converge vers
.
Si
, alors :
, donc :
.
Si
, alors
, donc :
.
Donc, dans les deux cas :
, donc :
.
Or pour tout entier
,
n'est pas le carré d'un entier.
En effet, s'il existait un entier
tel que
, on aurait
.
On aurait donc :
et
, ce qui est impossible car
et
.
Et pour tout entier
:
.
Donc pour tout entier
,
n'est pas le carré d'un entier.
Par contre, pour
ou
, on a :
(carré d'entier).
Donc
est un irrationnel sauf si
ou
.
Or si
, à partir d'un certain rang, on aura
et
.
Donc
est un irrationnel à partir d'un certain rang.
Or :
, donc :
, donc :
.
Conclusion : Il existe une suite d'irrationnels qui converge vers
.
Question
Déterminer en quels points la fonction
est continue.
Etudiez successivement les cas où
est rationnel et où
est irrationnel.
On étudie successivement les cas où
est rationnel et irrationnel.
Soit
une suite de rationnels et
une suite d'irrationnels qui convergent vers
.
Donc, si
est continue en
, alors :
et
.
Soit
, donc :
.Donc :
et
.Donc :
et
.Donc, si
, on n'a pas
. Donc
n'est pas continue en
.
Pour
et pour tout réel
rationnel ou pas :
car
.Donc :
.Donc
est continue en
.
Soit
, donc :
. Donc :
et
.Donc :
et
.Or
, donc on n'a pas
. Donc
n'est pas continue en
.
Conclusion : La fonction
est continue en
et discontinue en tout
.
