Limites d'une fonction numérique

Exo 13

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la fonction définie par : .

Question

Démontrer que la fonction est bien définie sur .

Indice

Justifiez la convergence de l'intégrale .

Solution

L'intégrale est impropre en .

Mais : , donc : .

Or l'intégrale est évidemment convergente pour tout .

Donc l'intégrale est absolument convergente pour tout .

Donc l'intégrale est convergente pour tout .

Conclusion : La fonction est bien définie sur .

On peut remarquer que la fonction est aussi définie sur et qu'elle est paire.

Question

Déterminer la limite en de la fonction .

Indice

Majorez le sinus.

Solution

.

Donc : .

Conclusion : .

Question

Déterminer la limite en de la fonction .

Indice

Commencez par déterminer la limite en de la fonction : .

Solution

, donc : et donc : .

Et : .

Donc : .

Soit .

. Donc : .

Or : .

Donc : .

Or : en posant : .

Donc : .

Conclusion : .

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