Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la convergence de la série de terme général :
pour
.
Etudiez la suite des sommes partielles.
La série
n'est pas une série à termes positifs. Donc on étudie la série
.
Or :
. Donc la série
est de même nature que la série
qui est une série de Riemann divergente (
).
Donc la série
n'est pas absolument convergente.
Etudions les sommes partielles :
.
Donc :
.
Et :
.
Soit :
.
Donc :
. Donc la série à termes négatifs
est de même nature que la série
.
Or la série
est une série de Riemann convergente car
.
Donc la série
est convergente. Soit
la somme de cette série.
Donc :
. Donc :
.
Donc la suite
des sommes partielles de la série
converge.
Conclusion : La série
est (semi) convergente.
Remarque :
La série est alternée, mais on ne peut pas utiliser le critère des séries alternées car
tend vers
, mais la suite
n'est pas décroissante.
En effet :
et
.
