Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la nature de la série
où
.
Montrez que la série est alternée.
où
est la fonction définie par :
.
Cette fonction est de classe
sur
et
.
Donc :
, et donc
est décroissante sur
.
Or :
. Donc :
, et donc
est croissante sur
.
Or :
car
. Donc :
.
Donc la suite
est positive, et donc la série est alternée. On utilise le critère des séries alternées.
La suite
est décroissante car
, donc
, et converge vers
car
.
Conclusion : La série
est convergente.
