Cas des autres séries
On essaie de se ramener à l'étude d'une série à termes positifs.
Lorsqu'une série est à termes négatifs, il suffit de considérer la série .
Dans les autres cas, on fait appel à la valeur absolue.
Définition :
Une série est absolument convergente si la série est convergente.
Fondamental :
Propriétés
Si la série est absolument convergente, alors elle est convergente et : .
On ne modifie pas la somme d'une série absolument convergente en modifiant l'ordre des termes.
Mais la réciproque est fausse : une série peut être convergente sans être absolument convergente.
Par exemple, la série est convergente alors que la série est divergente.
Définition :
Une série est semi convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.
Définition :
Le produit de Cauchy des séries et est la série de terme général : .
Fondamental :
Propriété
Si les séries et sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est absolument convergent.
Alors : .
Une série est alternée si est de signe constant pour tout .
Fondamental :
Cas des séries alternées
Si est une série alternée, si la suite est décroissante et si , alors la série est convergente.
Les suites et sont adjacentes et .