Séries numériques

Cas des autres séries

On essaie de se ramener à l'étude d'une série à termes positifs.

Lorsqu'une série est à termes négatifs, il suffit de considérer la série .

Dans les autres cas, on fait appel à la valeur absolue.

Définition

Une série est absolument convergente si la série est convergente.

Fondamental

Propriétés

  • Si la série est absolument convergente, alors elle est convergente et : .

  • On ne modifie pas la somme d'une série absolument convergente en modifiant l'ordre des termes.

Mais la réciproque est fausse : une série peut être convergente sans être absolument convergente.

Par exemple, la série est convergente alors que la série est divergente.

Définition

Une série est semi convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.

Définition

Le produit de Cauchy des séries et est la série de terme général : .

Fondamental

Propriété

Si les séries et sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est absolument convergent.

Alors : .

Une série est alternée si est de signe constant pour tout .

Fondamental

Cas des séries alternées

Si est une série alternée, si la suite est décroissante et si , alors la série est convergente.

Les suites et sont adjacentes et .

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