Cas des autres séries
On essaie de se ramener à l'étude d'une série à termes positifs.
Lorsqu'une série
est à termes négatifs, il suffit de considérer la série
.
Dans les autres cas, on fait appel à la valeur absolue.
Définition :
Une série
est absolument convergente si la série
est convergente.
Fondamental :
Propriétés
Si la série
est absolument convergente, alors elle est convergente et :
.
On ne modifie pas la somme d'une série absolument convergente en modifiant l'ordre des termes.
Mais la réciproque est fausse : une série peut être convergente sans être absolument convergente.
Par exemple, la série
est convergente alors que la série
est divergente.
Définition :
Une série est semi convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.
Définition :
Le produit de Cauchy des séries
et
est la série de terme général :
.
Fondamental :
Propriété
Si les séries
et
sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy
est absolument convergent.
Alors :
.
Une série est alternée si
est de signe constant pour tout
.
Fondamental :
Cas des séries alternées
Si
est une série alternée, si la suite
est décroissante et si
, alors la série
est convergente.
Les suites
et
sont adjacentes et
.