Suites numériques

Exo 14

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Question

Montrer que, pour tout , l'équation : admet une unique solution .

Indice

Utilisez le théorème de bijection.

Solution

La fonction définie par : est continue et strictement croissante sur .

Elle est donc bijective de dans .

Donc tout entier naturel admet un unique antécédent par dans .

Conclusion : Pour tout , l'équation : admet une unique solution .

Question

Démontrer que : . En déduire la limite de .

Indice

Utilisez le sens de variations de la fonction .

Solution

Pour tout , on a : , donc .

Or est strictement croissante. Donc : .

Et , donc : , donc : .

Conclusion : et .

Question

Démontrer que : .

Indice

A l'aide de la question précédente, encadrez et démontrez que .

Solution

, donc : .

Donc : . Or .

Donc : . Donc : . Donc : .

Conclusion : .

Question

Démontrez que : .

Indice

Déterminez la limite de quand tend vers l'infini.

Solution

On pose :

.

Or : et . Donc : .

Conclusion : .

Question

Démontrer que : .

Indice

Cherchez un équivalent de .

Solution

. Donc : , donc : . Donc : .

Donc : . Donc : .

Conclusion : .

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