Comparaison de suites
Il s'agit de comparer les vitesses de convergence ou de divergence des suites.
Définition :
Une suite est négligeable devant une suite , s'il existe une suite qui converge vers telle que : .
Notation : .
Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si .
Fondamental :
Négligeabilités usuelles :
si .
si et .
si et .
si et .
Fondamental :
Propriétés :
Si et si la suite est convergente, alors la suite converge vers .
Si et , alors (transitivité).
Si , alors .
Si et , alors .
Si et , alors .
Si et , alors .
Attention :
La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la division (et donc avec les puissances négatives).
La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la composition.
Par exemple, mais n'est pas négligeable devant puisque le quotient est égal à .
Définition :
Une suite est équivalente à une suite s'il existe une suite qui converge vers telle que : .
Notation : .
Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si .
Si , alors les suites et sont de même nature et admettent la même limite.
Fondamental :
Equivalences usuelles :
En , un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré.
En , une fraction rationnelle est équivalente au quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
Si et si , alors .
Si , alors :
.
.
.
.
.
.
Si , alors : .
Fondamental :
Propriétés :
si et seulement si . On écrit .
Si , alors (symétrie).
Si et , alors (transitivité).
Si , alors .
Si et , alors .
Si et , alors .
Si , alors .
Attention :
La relation d'équivalence n'est pas compatible avec l'addition.
La relation d'équivalence n'est pas compatible avec la composition.
Par exemple, , mais les suites de termes généraux et ne sont pas équivalentes puisque le quotient ne tend pas vers .
Définition :
Une suite est dominée par une suite s'il existe une suite bornée telle que : .
Notation : .
Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si la suite est bornée.
si et seulement si il existe un réel tel que : .
Attention !
La suite est dominée par la suite , mais aussi par la suite .
Donc ne prouve pas que (ni l'inverse).