Suites numériques

Comparaison de suites

Il s'agit de comparer les vitesses de convergence ou de divergence des suites.

Définition

Une suite est négligeable devant une suite , s'il existe une suite qui converge vers telle que : .

Notation : .

Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si .

Fondamental

Négligeabilités usuelles :

  • si .

  • si et .

  • si et .

  • si et .

Fondamental

Propriétés :

  • Si et si la suite est convergente, alors la suite converge vers .

  • Si et , alors (transitivité).

  • Si , alors .

  • Si et , alors .

  • Si et , alors .

  • Si et , alors .

Attention

  • La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la division (et donc avec les puissances négatives).

  • La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la composition.

Par exemple, mais n'est pas négligeable devant puisque le quotient est égal à .

Définition

Une suite est équivalente à une suite s'il existe une suite qui converge vers telle que : .

Notation : .

Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si .

Si , alors les suites et sont de même nature et admettent la même limite.

Fondamental

Equivalences usuelles :

  • En , un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré.

  • En , une fraction rationnelle est équivalente au quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

  • Si et si , alors .

  • Si , alors :

    • .

    • .

    • .

    • .

    • .

    • .

  • Si , alors : .

Fondamental

Propriétés :

  • si et seulement si . On écrit .

  • Si , alors (symétrie).

  • Si et , alors (transitivité).

  • Si , alors .

  • Si et , alors .

  • Si et , alors .

  • Si , alors .

Attention

La relation d'équivalence n'est pas compatible avec l'addition.

La relation d'équivalence n'est pas compatible avec la composition.

Par exemple, , mais les suites de termes généraux et ne sont pas équivalentes puisque le quotient ne tend pas vers .

Définition

Une suite est dominée par une suite s'il existe une suite bornée telle que : .

Notation : .

Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si la suite est bornée.

si et seulement si il existe un réel tel que : .

Attention !

La suite est dominée par la suite , mais aussi par la suite .

Donc ne prouve pas que (ni l'inverse).

PrécédentPrécédentSuivantSuivant
AccueilAccueilImprimerImprimer Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Partage des Conditions Initiales à l'IdentiqueRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)