Comparaison de suites
Il s'agit de comparer les vitesses de convergence ou de divergence des suites.
Définition :
Une suite
est négligeable devant une suite
, s'il existe une suite
qui converge vers
telle que :
.
Notation :
.
Si
à partir d'un certain rang, alors
si et seulement si
.
Fondamental :
Négligeabilités usuelles :
si
.
si
et
.
si
et
.
si
et
.
Fondamental :
Propriétés :
Si
et si la suite
est convergente, alors la suite
converge vers
.
Si
et
, alors
(transitivité).
Si
, alors
.
Si
et
, alors
.
Si
et
, alors
.
Si
et
, alors
.
Attention :
La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la division (et donc avec les puissances négatives).
La relation de négligeabilité n'est pas compatible avec la composition.
Par exemple,
mais
n'est pas négligeable devant
puisque le quotient est égal à
.
Définition :
Une suite
est équivalente à une suite
s'il existe une suite
qui converge vers
telle que :
.
Notation :
.
Si
à partir d'un certain rang, alors
si et seulement si
.
Si
, alors les suites
et
sont de même nature et admettent la même limite.
Fondamental :
Equivalences usuelles :
En
, un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré.
En
, une fraction rationnelle est équivalente au quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
Si
et si
, alors
.
Si
, alors :
.
.
.
.
.
.
Si
, alors :
.
Fondamental :
Propriétés :
si et seulement si
. On écrit
.
Si
, alors
(symétrie).
Si
et
, alors
(transitivité).
Si
, alors
.
Si
et
, alors
.
Si
et
, alors
.
Si
, alors
.
Attention :
La relation d'équivalence n'est pas compatible avec l'addition.
La relation d'équivalence n'est pas compatible avec la composition.
Par exemple,
, mais les suites de termes généraux
et
ne sont pas équivalentes puisque le quotient
ne tend pas vers
.
Définition :
Une suite
est dominée par une suite
s'il existe une suite
bornée telle que :
.
Notation :
.
Si
à partir d'un certain rang, alors
si et seulement si la suite
est bornée.
si et seulement si il existe un réel
tel que :
.
Attention !
La suite
est dominée par la suite
, mais aussi par la suite
.
Donc
ne prouve pas que
(ni l'inverse).