Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par
et :
.
Question
Démontrer que la suite
est convergente et trouver sa limite.
Etudiez le sens de variations de la suite
.
Une récurrence évidente montre que :
.
Or la fonction sinus est concave sur
, donc sa courbe se trouve en dessous de la tangente en
.
Donc :
. Donc :
.
Donc la suite
est décroissante et minorée par
, donc convergente. Soit
sa limite.
La fonction
est continue sur
. Donc la limite de la suite est solution de l'équation
sur
.
Or la seule solution est
. Donc :
.
Conclusion : La suite
est convergente et sa limite est
.