Suites numériques

Exo 13

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère la suite définie par et : .

Question

Démontrer que la suite est convergente et trouver sa limite.

Indice

Etudiez le sens de variations de la suite .

Solution

Une récurrence évidente montre que : .

Or la fonction sinus est concave sur , donc sa courbe se trouve en dessous de la tangente en .

Donc : . Donc : .

Donc la suite est décroissante et minorée par , donc convergente. Soit sa limite.

La fonction est continue sur . Donc la limite de la suite est solution de l'équation sur .

Or la seule solution est . Donc : .

Conclusion : La suite est convergente et sa limite est .

Question

Démontrer que la suite de terme général : est convergente.

Indice

Utilisez un développement limité de la fonction sinus en .

Solution

Comme , on a : .

Donc : .

Or : .

Donc : . Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire un équivalent de .

Indice

Utilisez le théorème de Cesaro.

Solution

. Donc d'après le théorème de Cesaro : .

Et : .

Or : , donc : . Donc : car .

Donc : . Or la suite est à termes positifs.

Conclusion : .

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