Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par et : .
Question
Démontrer que la suite est convergente et trouver sa limite.
Etudiez le sens de variations de la suite .
Une récurrence évidente montre que : .
Or la fonction sinus est concave sur , donc sa courbe se trouve en dessous de la tangente en .
Donc : . Donc : .
Donc la suite est décroissante et minorée par , donc convergente. Soit sa limite.
La fonction est continue sur . Donc la limite de la suite est solution de l'équation sur .
Or la seule solution est . Donc : .
Conclusion : La suite est convergente et sa limite est .