Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un plan vectoriel euclidien orienté et
une base orthonormale directe.
Soit
une rotation vectorielle d'angle
et
une réflexion d'axe
.
Question
Démontrer qu'il existe une unique réflexion
telle que
et une unique réflexion
telle que
.
La réflexion
est bijective et involutive, donc sa réciproque est :
.
Donc :
et
.
Or
et
sont composés d'un endomorphisme orthogonal direct et d'un endomorphisme orthogonal indirect, donc sont des endomorphismes orthogonaux indirects, donc des réflexions.
Conclusion : Pour toute rotation
et toute réflexion
, il existe une unique réflexion
telle que
et une unique réflexion
telle que
.
Question
Question
Est-il possible que les axes
et
de
et
soient orthogonaux ?
Déterminez les axes
et
.
L'axe
de
est l'ensemble de ses vecteurs invariants.
Donc
appartient à
si et seulement si :
.
Or :
.
Et :
.
Or
et
ne sont pas simultanément nuls.
Donc l'axe
de
a pour équation :
.
De même l'axe
de
a pour équation :
.
Donc les axes
et
de
et
sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs
et
sont orthogonaux.
Donc
et
sont orthogonaux si et seulement si :
, donc si
(et donc
).
Conclusion : Les axes
et
de
et
sont orthogonaux si et seulement si
est la rotation vectorielle d'angle
ou
.
Question
Soit
la rotation vectorielle d'angle
et
la réflexion par rapport à la droite
d'équation
dans
.
Déterminer les axes des réflexions
et
.
Déterminez la matrice de
, puis celles de
et
.
L'angle de la rotation
est
, donc sa matrice dans
est :
.
La matrice de la réflexion
est de la forme :
.
Le vecteur
appartient à l'axe de
. Donc
.
Donc :
. Donc
,
et
.
. Donc :
.
L'axe
de
est l'ensemble de ses vecteurs invariants.
Donc un vecteur
appartient à
si et seulement si :
.
Conclusion :
est la réflexion d'axe
d'équation
.
. Donc :
.
L'axe
de
est l'ensemble de ses vecteurs invariants.
Donc un vecteur
appartient à
si et seulement si :
.
Conclusion :
est la réflexion d'axe
d'équation
.
