Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un plan vectoriel euclidien orienté et
une base orthonormale directe.
Question
Déterminer la nature de l'endomorphisme
de matrice
dans la base
.
Démontrez que
est un endomorphisme orthogonal et déterminez ses caractéristiques.
, donc :
.
Donc
est une matrice orthogonale, donc
est un endomorphisme orthogonal.
Et :
. Donc
. Donc
est une réflexion.
Un vecteur
de matrice
dans
est invariant si et seulement si
, donc si
.
Donc
est invariant si et seulement si :
, donc si
.
Conclusion :
est la réflexion par rapport à la droite d'équation
.
Question
Déterminer la nature de l'endomorphisme
de matrice
dans la base
.
Démontrez que
est un endomorphisme orthogonal et déterminez ses caractéristiques.
et
.
Donc
est une matrice orthogonale, donc
est un endomorphisme orthogonal.
Et :
. Donc
. Donc
est une rotation.
Conclusion :
est la rotation d'angle
défini par :
et
.
On peut d'ailleurs vérifier facilement que l'ensemble des vecteurs invariants est
:
si et seulement si :
, donc si
.
