Exercice 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux vecteurs distincts d'un espace euclidien
tels que :
.
Question
Montrer qu'il existe une unique réflexion
telle que
.
Raisonnez par analyse et synthèse : supposez que
existe et déterminez l'hyperplan associé, puis démontrez que cette réflexion convient.
On raisonne par analyse et synthèse.
Supposons qu'une telle réflexion
existe.Donc
est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan
.Donc :
et
, donc
.Or
est un hyperplan, donc
est une droite.Or :
. Donc :
.Donc, si
existe,
est la réflexion par rapport à
.Donc il existe au plus une réflexion
telle que
.
Montrons que la réflexion
par rapport à
convient.Remarquons que :
, donc :
, donc :
.Donc :
avec
et
.Donc :
. Donc la réflexion
convient.
Conclusion : Il existe une unique réflexion
telle que
. C'est la réflexion par rapport à l'hyperplan
.
