Exercice 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux vecteurs distincts d'un espace euclidien
tels que :
.
Question
Montrer qu'il existe une unique réflexion
telle que
.
Raisonnez par analyse et synthèse : supposez que
existe et déterminez l'hyperplan associé, puis démontrez que cette réflexion convient.
On raisonne par analyse et synthèse.
Supposons qu'une telle réflexion
existe.
Donc
est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan
.
Donc :
et
, donc
.
Or
est un hyperplan, donc
est une droite.
Or :
. Donc :
.
Donc, si
existe,
est la réflexion par rapport à
.
Donc il existe au plus une réflexion
telle que
.
Montrons que la réflexion
par rapport à
convient.
Remarquons que :
, donc :
, donc :
.
Donc :
avec
et
.
Donc :
. Donc la réflexion
convient.
Conclusion : Il existe une unique réflexion
telle que
. C'est la réflexion par rapport à l'hyperplan
.