Exercice 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien et
un endomorphisme orthogonal de
.
Question
Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel
:
.
Démontrez successivement les deux inclusions.
Montrons successivement les deux inclusions.
Soit
. Donc il existe
tel que :
.Soit
. Donc il existe
tel que :
.Or
est orthogonal. Donc :
car
et
.Donc :
. Donc :
.Donc :
.
Soit
. Donc :
, donc :
.Or
est orthogonal. Donc :
. Donc :
, donc :
.Donc :
.
Conclusion :
pour tout sous-espace vectoriel
.
