Exercice 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une application d'un espace euclidien
dans lui-même qui vérifie :
et
.
Question
Montrer que
est un endomorphisme orthogonal.
Montrez que
conserve la norme et le produit scalaire.
Puis montrez que
est linéaire.
Méthode : Pour montrer qu'un vecteur est nul, montrez que sa norme est nulle.
Montrons que
conserve la norme.
. Donc :
.
Montrons que
conserve le produit scalaire.
.Donc :
.Or :
. Donc :
.
Montrons que
est linéaire.
.Donc :
.Donc :
.Soit
. On a :
.Or :
.Et :
.Donc :
.Donc :
, donc
.
Donc
est linéaire de
dans lui-même et conserve le produit scalaire et la norme.
Conclusion : L'application
est un endomorphisme orthogonal.
