Endomorphismes orthogonaux
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel euclidien.
Définition :
Un endomorphisme
est orthogonal si
, c'est-à-dire si
est bijectif et
.
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de
est un sous-groupe de
appelé groupe orthogonal de
et noté
.
Fondamental :
Propriétés :
Un endomorphisme
est orthogonal si et seulement si :
.Un endomorphisme
est orthogonal si et seulement si :
.Un endomorphisme
est orthogonal si et seulement si
transforme une (toute) base orthonormale en une base orthonormale.
Si
est un endomorphisme orthogonal, alors :
. Si
est un endomorphisme orthogonal, alors :
.
Définition :
Une matrice
est orthogonale si elle vérifie
.
L'ensemble des matrices orthogonales de
est un sous-groupe de
appelé groupe orthogonal d'ordre n et noté
.
Fondamental :
Propriétés :
est inversible et son inverse est
.
.
.
Définition :
L'ensemble des matrices orthogonales de
de déterminant
est un sous-groupe de
appelé groupe spécial orthogonal d'ordre n et noté
.
Définition :
Orientation de l'espace
Deux bases orthonormales d'un espace euclidien
sont de même sens si la matrice de passage vérifie :
.
C'est une relation d'équivalence qui détermine deux classes d'équivalence.
Orienter l'espace
, c'est choisir l'une des deux classes (ce seront les bases directes). L'autre classe sera celle des bases indirectes.
On suppose désormais l'espace vectoriel euclidien
orienté.
Définition :
Un endomorphisme orthogonal est direct s'il transforme une base orthonormale directe en une base directe, donc si et seulement si
.
Sinon, c'est un endomorphisme orthogonal indirect (
).
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux directs (ou rotations) est un sous-groupe de
appelé groupe spécial orthogonal noté
ou
.
L'ensemble
des endomorphismes orthogonaux indirects n'est pas un groupe.
Exemple :
Toute réflexion (symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan) est un endomorphisme orthogonal indirect.
Fondamental :
Si
, tout endomorphisme orthogonal de
se décompose en un produit d'au plus
réflexions.
Si le nombre de réflexions est pair, c'est un endomorphisme orthogonal direct, sinon c'est un endomorphisme orthogonal indirect.
