Exercice 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que, si
est une matrice symétrique réelle :
.
Démontrez successivement les deux implications.
Utilisez la diagonalisation de la matrice et montrez que, pour toute valeur propre
, il existe
telle que
.
Si la matrice
est symétrique réelle, elle est diagonalisable :
où
est diagonale.
Donc :
en posant :
.
Soient
, ...,
les valeurs propres de
comptées avec leur ordre de multiplicité.
Donc :
. Et si
, alors :
.
Montrons successivement les deux implications :
Supposons que :
. Donc :
.Donc :
car
.
Réciproquement, supposons que
.La matrice
est inversible et
. Donc :
.Pour tout
, on note
avec
si
et
.Et, pour tout
, on note
. Donc :
.Or, d'après l'hypothèse :
, donc
.Donc :
.
Conclusion : Si
est symétrique, alors
.
Question
En déduire que, pour toute matrice réelle
, la matrice
est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives.
Utilisez la question précédente.
La matrice
est réelle et :
.
Donc
est une matrice symétrique réelle. Donc
est diagonalisable.
en posant
.
Or si
, alors
. Donc :
.
Donc d'après la première question :
.
Conclusion : La matrice
est diagonalisable et ses valeurs propres sont positives.
