Endomorphismes des espaces vectoriels euclidiens

Exercice 7

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux endomorphismes auto-adjoints d'un espace vectoriel euclidien .

Question

Démontrer que est auto-adjoint si et seulement si .

Indice

Utilisez les propriétés de l'adjoint d'un endomorphisme.

Solution

est auto-adjoint si et seulement si , donc si .

Or et sont auto-adjoints. Donc : et .

Conclusion : est auto-adjoint si et seulement si .

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