Exercice 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien de dimension
, et deux vecteurs
et
unitaires et non colinéaires.
Soit
l'application définie par :
.
Question
Montrer que
est un endomorphisme auto-adjoint de
.
La linéarité de
est conséquence directe de la bilinéarité du produit scalaire.
Et :
.
Cette expression est symétrique en
et
.
Donc :
.
Donc par unicité de l'adjoint :
.
Conclusion : L'application
est un endomorphisme auto-adjoint de
.
Question
Déterminer les valeurs propres de
et les sous-espaces propres associés.
Commencez par déterminer le noyau de
, puis calculez
et
.
Les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires.
Donc :
. Donc :
.
Or
. Donc
et
.
Donc
est valeur propre de
et le sous espace propre associé est
.
Les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires, donc
.
Donc :
. Donc
a au plus deux autres valeurs propres.
et
.
Or
et
sont unitaires. Donc :
et
.
Donc :
et
.
Les vecteurs
et
ne sont pas nuls car
et
ne sont pas colinéaires.
Donc
est vecteur propre associé à la valeur propre
.
Et
est vecteur propre associé à la valeur propre
.
Si
, alors
, donc
n'a pas d'autre valeur propre et les sous-espaces propres associés
et
sont de dimension
:
et
.
Si
, alors
. Le sous-espace propre associé est de dimension inférieure ou égale à
.
Or il contient les vecteurs
et
qui ne sont pas colinéaires. Donc :
.
Conclusion :
Si
,
a trois valeurs propres
,
et
.Les sous-espaces propres sont
,
et
.
Si
,
a deux valeurs propres
et
.Les sous-espaces propres sont
et
.
