Exercice 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien.
Soit
un endomorphisme de
tel que
(endomorphisme normal).
Question
Question
Démontrer que
et
ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous-espaces propres.
Calculez
lorsque
est vecteur propre de
associé à la valeur propre
.
Soit
une valeur propre de
et
un vecteur propre associé :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
. Donc
est valeur propre de
et
est un vecteur propre associé à
.
Notons
et
les sous-espaces propres associés.
Donc :
. Et si
est valeur propre de
, alors :
.
On applique le même raisonnement à
car
et
jouent des rôles symétriques.
Donc :
. Et si
est valeur propre de
, alors :
.
Donc
et si
est valeur propre de
, alors :
.
Conclusion : Les endomorphismes
et
ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous-espaces propres.
Question
Démontrer que deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Calculez
lorsque
et
sont dans deux sous-espaces propres distincts.
Soient deux valeurs propres distinctes
et
de
(et de
), et
et
les sous-espaces propres associés.
Soient
et
. Donc :
et
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
. Or :
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : Deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
