Exercice 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien
de dimension
.
Question
Question
Question
En déduire que :
.
Indice
Le rang d'une matrice est la dimension de l'image de l'endomorphisme associé.
Solution
Dans
muni du produit scalaire
, la base canonique est orthonormale.
Soit
l'endomorphisme de matrice
dans cette base.
Alors
est la matrice de
,
est celle de
et
celle de
dans cette base.
Or :
, donc :
.
Le même raisonnement appliqué à
donne :
.
Or :
. Donc :
.
Conclusion :
.