Endomorphismes des espaces vectoriels euclidiens

Exercice 5

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien de dimension .

Question

Démontrer que : .

Indice

Démontrez successivement les deux inclusions.

Un vecteur est nul si et seulement si sa norme est nulle.

Solution

On raisonne par double inclusion.

  • Soit . Donc : , donc , donc .

    Donc : .

  • Soit . Donc : .

    Donc : , donc , donc , donc .

    Donc : .

Conclusion : .

Question

Démontrer que : .

Indice

Comparez et .

Solution

On montre une inclusion, puis on compare les dimensions.

  • . Donc : .

    Or : . Donc : .

  • D'après le théorème du rang : .

    Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire que : .

Indice

Le rang d'une matrice est la dimension de l'image de l'endomorphisme associé.

Solution

Dans muni du produit scalaire , la base canonique est orthonormale.

Soit l'endomorphisme de matrice dans cette base.

Alors est la matrice de , est celle de et celle de dans cette base.

Or : , donc : .

Le même raisonnement appliqué à donne : .

Or : . Donc : .

Conclusion : .

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