Exercice 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels d'un espace euclidien
tels que
et
soient orthogonaux.
Question
Montrer que les projections orthogonales sur
,
et
vérifient :
.
.
Décomposez tout vecteur
sur
,
et
, puis en déduire ses images par chacune des projections.
Soit
. L'espace
est de dimension finie, donc :
.
Donc il existe
et
tels que :
. Et :
.
Or :
. Donc il existe
et
tels que :
.
Or
et
sont orthogonaux. Donc :
, donc
. De même :
.
Donc :
avec
,
et
.
Donc :
avec
et
. Donc :
.
Et :
avec
et
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
avec
et
. Donc :
.
avec
et
. Donc :
.
Conclusion :
.
