Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
à valeurs dans
.
On munit l'espace vectoriel
du produit scalaire :
.
Soit un entier
.
On définit les fonctions
et
par :
et
.
Et pour toute fonction
et tout entier
, on pose :
et
.
Question
Montrer que la famille
est une famille orthogonale de
.
Montrez que tous les produits scalaires de deux vecteurs de la famille sont nuls.
Utilisez la linéarisation[1] pour calculer les intégrales.
Etudions tous les produits scalaires de deux vecteurs de la famille.
Pour tous
et
distincts dans
:
.Donc, en linéarisant :
.Donc :
.
Pour tous
et
distincts dans
:
.Donc, en linéarisant :
.Donc :
.
Pour tous
et
distincts dans
:
.Donc, en linéarisant :
.Donc :
.
Pour tout
dans
:
.Donc, en linéarisant :
.
Pour tout
dans
:
.
Conclusion : La famille
est une famille orthogonale de
.
Question
Question
En déduire que, pour toute fonction
, la série
est convergente et que :
.
Utilisez le résultat de l'exercice précédent.
On utilise le résultat de l'exercice précédent pour cette famille orthonormale.
Donc :
.
Donc :
.
Or :
.
Et :
et
.
Donc, pour tout entier
, on a :
.
Soit
et :
. Donc :
.
Donc la série à termes positifs
est convergente puisque ses sommes partielles sont majorées.
Et :
. Donc :
.
Conclusion : Pour toute fonction
, la série
est convergente et :
.
Exemple : Exemple
On suppose que :
.
.
.Donc :
.
.Donc :
.
Donc :
. Or :
.
Donc l'inégalité donne :
.
En réalité, on a une égalité, mais ce qui précède ne donne que l'inégalité.
