Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'espace vectoriel
muni du produit scalaire
.
On définit les polynômes :
,
et
.
Question
Montrer que la famille
est libre et l'orthonormaliser par la méthode de Gram-Schmidt.
Rappel de la méthode :
On pose
, puis
et l'on détermine
pour que
, puis
et l'on détermine
et
pour que
.
La famille orthonormalisée est obtenue en posant :
.
La famille
est libre car les degrés des polynômes sont échelonnés.
Première étape : On construit une famille
orthogonale.
On pose
et
, et l'on calcule
pour que
.
Or :
. Donc :
et
.
On pose :
.
Et l'on calcule
et
pour que
et
.
Or :
.
Donc :
. Donc :
et
.
Et :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
. Donc :
et
.
Deuxième étape : On norme chacun des vecteurs.
, donc :
et
.
.
Donc :
et
.
.
Donc :
.
Donc :
et
.
Conclusion : La famille orthonormalisée de
est
,
et
.
