Base orthonormale
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel euclidien.
Définition :
Une famille de vecteurs
est orthogonale si
pour tous
.
Propriété : Toute famille orthogonale qui ne contient pas le vecteur nul est libre.
Définition : Famille orthonormale
Une famille de vecteurs
est orthonormale si :
Si
, c'est une base orthonormale.
Fondamental :
Propriétés :
Dans une base orthonormale :
.Dans une base orthonormale :
et
si
et
sont les matrices de
et
.Inégalité de Bessel :
si
est une famille orthonormale.La matrice de passage d'une base orthonormale à une autre base orthonormale est une matrice
orthogonale, c'est-à-dire telle que :
.
Fondamental :
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Si
est une famille libre de
, il existe une unique famille orthonormale
telle que :
et 
.
Conséquence : Tout espace vectoriel euclidien admet une base orthonormale.
Méthode :
Dans la pratique, on commence par déterminer une famille orthogonale que l'on norme ensuite.
On pose
, puis
et l'on détermine
pour que
, puis
et l'on détermine
et
pour que
et
, et ainsi de suite ... On obtient ainsi une famille
orthogonale.
La famille orthonormalisée est obtenue en posant :
.
