Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace euclidien et
un endomorphisme de
tel que :
.
Question
Montrer que
et
sont des supplémentaires orthogonaux.
Démontrez que tout élément de
est orthogonal à tout élément de
.
Remarquez que pour tous les éléments
et
de
et pour tout réel
:
.
Soit
et
. Donc :
et :
.
.
Donc :
.
Or :
. Donc :
.
Si
, ce polynôme en
est de degré
, donc il admet une racine et change de signe.
Or il garde un signe constant. Donc :
pour tous
et
.
Donc
et
sont des sous-espaces orthogonaux.
Et d'après le théorème du rang :
.
Conclusion :
et
sont des supplémentaires orthogonaux.
Question
Démontrer que la suite définie par :
converge vers le projeté de
sur
parallèlement à
.
Décomposez
sur
et
et démontrez que
tend vers
.
Soit
la projection (orthogonale) sur
parallèlement à
.
Soit
. Donc :
. Et :
.
Or :
, donc
. Et
, donc
.
.
Donc :
. Or
.
Donc :
. Donc :
.
Or :
. Donc par une récurrence évidente :
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Conclusion : Pour tout
, la suite
converge vers le projeté orthogonal de
sur
.
