Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien.
Soit
l'application définie par :
.
Question
Question
En déduire que, dans un tétraèdre
, on a :
.
Utilisez l'application
et l'inégalité triangulaire.
L'inégalité est évidente si deux des points sont confondus. On suppose donc dans la suite que les points
Donc les vecteurs
On peut donc utiliser l'application
Or :
Donc, d'après l'inégalité triangulaire :
Donc :
|  |
Donc :
.
Or :
,
et
.
Conclusion :
.
Remarque :
Cette inégalité est connue sous le nom d'inégalité de Ptolémée.
