Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit un entier
et
, ...,
des réels strictement positifs.
Question
Question
Démontrer que :
.
Indice
Remarquez que :
et utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Solution
Soient :
et
.
Donc :
.
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
.
Or :
et :
.
Donc :
. Or :
.
Conclusion :
.
Remarque :
Il y a égalité si et seulement si
et
sont liés, donc s'il existe un réel
tel que :
.
Donc il y a égalité si et seulement si :
.
