Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une fonction continue et strictement positive sur un intervalle
(avec
).
Question
Démontrer que :
.
Remarquez que :
et utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit
l'espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle
.
On le munit du produit scalaire :
.
Donc :
si
est définie par :
.
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
.
Or :
et :
.
Conclusion :
.
Remarque :
Il y a égalité si et seulement si
et
sont liées, donc si
est constante.
Question
Démontrer que :
.
Remarquez que :
et utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
On définit les fonctions
et
par :
et
.
Donc :
.
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
.
Or :
et :
.
Conclusion :
.
Remarque :
Il y a égalité si et seulement si
et
sont liées, donc s'il existe un réel
tel que :
.
Donc il y a égalité si et seulement si la fonction
est constante.
