Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux matrices de
et
l'endomorphisme de
qui à toute matrice
associe la matrice
.
Question
Démontrer que
.
Démontrez successivement les deux implications.
On démontre successivement les deux implications :
On suppose que
, donc
.Donc :
, donc
.Et par une récurrence évidente :
.Donc pour tout polynôme
, on a :
. C'est en particulier vrai pour le polynôme caractéristique de
:
.Or, d'après le théorème de Cayley-Hamilton :
, donc
.Or, si
, alors
où
est l'ordre de multiplicité de
. Donc :
.Si toutes les matrices
étaient inversibles, alors la matrice
serait aussi inversible, et on aurait
, ce qui est faux.Donc il existe
tel que
ne soit pas inversible, donc tel que
soit valeur propre de
.Donc il existe
et
tels que
.
On suppose que
et
, et on pose :
.Donc :
.Or :
, donc
, donc
.Et :
, donc
, donc
, donc
, donc
.La matrice
appartient à
et
si
et
. Or
, donc il existe
tel que
, et de même il existe
tel que
, donc
.Donc :
et
.Donc :
, et donc
est valeur propre de
.
Conclusion :
.
Question
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice
non nulle qui vérifie
.
est valeur propre de
.
Une matrice
vérifie
si et seulement si
.
Donc il existe une matrice
non nulle qui vérifie
si et seulement si
, donc s'il existe
et
tels que
.
Donc il existe une matrice
non nulle qui vérifie
si et seulement si les matrices
et
ont une valeur propre commune.
Conclusion : Il existe une matrice
non nulle qui vérifie
si et seulement si :
.
