Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit un entier
. Déterminer les polynômes
tels que
soit multiple de
et
multiple de
.
Déterminez d'abord le polynôme
.
Soit
un polynôme solution du problème.
est multiple de
. Donc
est racine de
avec un ordre de multiplicité au moins égal à
.
Donc
est racine de
avec un ordre de multiplicité au moins égal à
. Donc
est multiple de
.
De même,
est multiple de
, donc
est multiple de
.
Or les polynômes
et
sont premiers entre eux.
Donc
est divisible par
. Or
.
Donc il existe un réel
tel que
.
Donc il existe un réel
tel que
.
Or
est multiple de
et
est multiple de
. Donc
et
.
Donc
et
.
Donc
et
avec
.
Conclusion :
avec
.
Par exemple, pour
:
.
