Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Déterminer dans
les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.
Exprimez le polynôme
en fonction de
et démontrez que le polynôme
n'a qu'une seule racine.
Il est évident que le polynôme nul convient et que les polynômes constants non nuls ne sont pas solutions.
Soit
un polynôme solution et soit
le degré de
. Donc
.
Donc il existe un polynôme de la forme
tel que
.
Si
est le coefficient dominant de
, celui de
est
. Donc :
, donc
car
.
Donc il existe un complexe
tel que :
.
Ce complexe
est racine de
. Soit
son ordre de multiplicité.
Donc il existe un polynôme
de degré
tel que
et
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
. Donc
. Or :
. Donc
.
Donc
est de la forme :
car
est constant.
Réciproquement si
est de la forme
, alors :
.
Donc
, et donc
est divisible par
.
Conclusion : Les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé sont les polynômes de la forme
où
et
sont des complexes.
