Polynômes

Exo 8

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux entiers naturels non nuls.

On définit les polynômes et .

Question

Démontrer que le polynôme divise le polynôme si et seulement si divise .

Indice

Utilisez la division euclidienne de par , puis exprimez le polynôme en fonction du polynôme .

Solution

On démontre successivement les deux implications.

  • Supposons que divise . Donc il existe un entier tel que .

    Donc : avec : .

    Donc le polynôme divise le polynôme .

  • Supposons que le polynôme divise le polynôme .

    Il existe un unique couple d'entiers tels que et .

    Donc : .

    Le polynôme divise le polynôme et, d'après la première partie, le polynôme divise car divise .

    Donc le polynôme divise . Or . Donc .

    Donc divise .

Conclusion : Le polynôme divise le polynôme si et seulement si divise .

Question

Démontrer que les entiers et sont premiers entre eux si et seulement si le PGCD des polynômes et est .

Indice

Utilisez la première question et le théorème de Bezout.

Solution

On démontre successivement les deux implications. Soit le PGCD des polynômes et .

  • Supposons que .

    Soit . Donc divise et . Donc d'après la première question, divise et , donc leur PGCD .

    Donc . Donc les entiers et sont premiers entre eux.

  • Supposons que les entiers et sont premiers entre eux.

    Donc il existe des entiers et tels que .

    Donc : .

    Or divise , donc divise .

    De même divise , donc divise .

    Or divise et , donc divise et .

    Donc divise . Or , donc divise et , donc .

    Donc : .

Conclusion : Les entiers et sont premiers entre eux si et seulement si le PGCD des polynômes et est .

Question

Plus généralement, démontrer que si , alors le PGCD des polynômes et est .

Indice

Ramenez vous au cas précédent.

Solution

, donc il existe deux entiers et tels que , et .

D'après ce qui précède, le PGCD de et de est .

Donc : et où et sont deux polynômes premiers entre eux.

Donc : et .

Or et sont premiers entre eux, donc il existe deux polynômes et tels que : .

Donc : .

Donc les polynômes et sont premiers entre eux.

Conclusion : Si , alors le PGCD des polynômes et est .

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