Division euclidienne
Fondamental :
Division euclidienne :
Si
et
sont deux polynômes et si
, il existe un unique couple
de polynômes tels que :
avec
.
Si
, on dira que
est divisible par
, que
divise
, que
est un diviseur de
et que
est multiple de
.
Fondamental :
Tout idéal de l'anneau
est principal :
.
Si
et
sont deux polynômes, l'idéal
est principal, donc il existe un polynôme
(non unique) tel que :
.
Ce polynôme
est un diviseur commun à
et
, et tout diviseur commun à
et
divise
.
Définition :
Un polynôme
est le PGCD de deux polynômes
et
non tous nuls si :
et si
est unitaire. On note :
.
Si l'un des polynômes est nul, le PGCD est le polynôme unitaire associé à l'autre.
Un polynôme
divise
si et seulement si
divise
et
.
Fondamental :
Algorithme d'Euclide :
Il s'agit d'une méthode pour déterminer le PGCD de deux polynômes non nuls
et
. On suppose
.
On définit une suite finie de polynômes
par
,
, et, pour tout entier
,
est le reste de la division de
par
si
.
Le PGCD de
et
est le polynôme unitaire associé au dernier reste non nul.
Exemple :
Exemple : Déterminer le PGCD des polynômes
et
.
Si
et
sont deux polynômes, l'idéal
est l'ensemble des multiples communs à
et
.
Définition :
Un polynôme
est le PPCM de deux polynômes
et
non nuls si :
et si
est unitaire. On le note :
.
divise un polynôme
si et seulement si
et
divisent
.
Si
et
, le polynôme
est le polynôme unitaire associé au polynôme
.
Fondamental :
Deux polynômes
et
sont premiers entre eux si :
.
Propriétés :
Si
divise
et si
et
sont premiers entre eux, alors
divise
.Si
et
divisent
et si
et
sont premiers entre eux, alors
divise
.
Théorème de Bezout :
Deux polynômes
et
sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple
de polynômes tels que :
.Il y a unicité du couple
si
et
.L'algorithme d'Euclide permet de déterminer un couple solution.
Exemple :
Exemple : Montrer que les polynômes
et
sont premiers entre eux et déterminer des polynômes
et
tels que
.
