Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit un entier
et le polynôme
.
Question
Déterminer le reste de la division du polynôme
par
.
Déterminez le degré du reste et utilisez les racines du polynôme
pour calculer les coefficients de ce reste.
D'après le théorème de division euclidienne, il existe un unique couple
de polynômes tel que :
et
.
Donc
. Donc il existe
tel que :
.
Or
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Or
et
. Et
.
Conclusion : Le reste de la division de
par
est
.
Question
Déterminer le reste de la division du polynôme
par
.
Ici, le polynôme
a une racine double, donc la méthode précédente ne donne qu'une équation.
Utilisez le polynôme dérivé de
pour obtenir une deuxième équation.
D'après le théorème de division euclidienne, il existe un unique couple
de polynômes tel que :
et
.
Donc
. Donc il existe
tel que :
.
Donc :
.
Et :
.
Donc :
. Donc :
.
Or
. Donc
et
. Et
.
Conclusion : Le reste de la division de
par
est
.
Question
Déterminer le reste de la division du polynôme
par
.
Ici le polynôme
n'a pas de racine réelle, mais a deux racines complexes.
Utilisez la méthode de la première question dans l'ensemble des polynômes complexes, puis montrez que les coefficients sont réels.
D'après le théorème de division euclidienne, il existe un unique couple
de polynômes tel que :
et
.
Donc
. Donc il existe
tel que :
.
Donc :
.
Or
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Or :
et
.
Donc :
et
.
Or
, donc l'expression de
dépend de la congruence de
modulo
.
Si
avec
entier :
et
, donc
et
.
Si
avec
entier :
et
, donc
et
.
Si
avec
entier :
et
, donc
et
.
Si
avec
entier :
et
, donc
et
.
Conclusion : Le reste de la division de
par
est :
si
.
si
.
si
.
si
.
