Exo 12
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit triangle de sens direct.
On construit les triangles , et équilatéraux directs.
Soient , et les centres de gravité respectifs des triangles , et .
Question
Démontrer que le triangle est équilatéral de même centre de gravité que le triangle .
Démontrez que le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle .
Soient , et les affixes des points , et dans un repère orthonormal direct. Le triangle est équilatéral direct. Donc le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle . Donc son affixe vérifie : en posant : . Donc le point a pour affixe : . Le centre de gravité du triangle a pour affixe . Donc le point a pour affixe : . De même le triangle est équilatéral direct. Les calculs sont analogues en remplaçant par , et par . Donc son centre de gravité a pour affixe : . De même le triangle est équilatéral direct. Les calculs sont analogues en remplaçant par , et par . Donc son centre de gravité a pour affixe : . |
On peut déjà voir que :
.
Donc le centre de gravité du triangle a pour affixe .
Conclusion : Les triangles et ont même centre de gravité .
D'autre part :
.
Et : .
Donc : .
Or . Donc : .
Donc : . Donc : .
Donc le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle .
Conclusion : Le triangle est équilatéral.