Ensemble des nombres complexes

Exo 11

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct.

On construit les carrés directs , , et les parallélogrammes et . Soit le milieu de .

Question

Démontrer que et que la droite est orthogonale à la droite .

Indice

Comparez les affixes des vecteurs et .

Solution

Soient , et les affixes des points , et dans un repère orthonormal direct.

Le point est milieu de , donc son affixe est : .

Donc le vecteur a pour affixe : .

Le carré est direct.

Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle .

Donc son affixe vérifie : . Donc : .

Le carré est direct.

Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle .

Donc son affixe vérifie : . Donc : .

Le vecteur a pour affixe : .

Donc : . Donc et l'angle a pour mesure .

Conclusion : et la droite est orthogonale à la droite .

Question

Démontrer que le triangle est rectangle isocèle.

Indice

Démontrez que le point est l'image du point dans la rotation de centre et d'angle .

Solution

Le carré est direct.

Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle .

Donc son affixe vérifie : . Donc : .

Et est l'image de dans la rotation de centre et d'angle .

Donc son affixe vérifie : . Donc : .

Le carré est un parallélogramme ainsi que . Donc .

Donc l'affixe de vérifie : .

Donc : .

Donc a pour affixe : .

Le carré est un parallélogramme ainsi que . Donc .

Donc l'affixe de vérifie : .

Donc : .

Donc a pour affixe : .

Donc et . Donc .

Donc le point est l'image du point dans la rotation de centre et d'angle .

Conclusion : Le triangle est rectangle isocèle.

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