Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Dans le plan orienté, on considère un triangle direct.
On construit les carrés directs , , et les parallélogrammes et . Soit le milieu de .
Question
Démontrer que et que la droite est orthogonale à la droite .
Comparez les affixes des vecteurs et .
Soient , et les affixes des points , et dans un repère orthonormal direct. Le point est milieu de , donc son affixe est : . Donc le vecteur a pour affixe : . Le carré est direct. Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle . Donc son affixe vérifie : . Donc : . Le carré est direct. Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle . Donc son affixe vérifie : . Donc : . |
Le vecteur a pour affixe : .
Donc : . Donc et l'angle a pour mesure .
Conclusion : et la droite est orthogonale à la droite .
Question
Démontrer que le triangle est rectangle isocèle.
Démontrez que le point est l'image du point dans la rotation de centre et d'angle .
Le carré est direct. Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle . Donc son affixe vérifie : . Donc : . Et est l'image de dans la rotation de centre et d'angle . Donc son affixe vérifie : . Donc : . Le carré est un parallélogramme ainsi que . Donc . Donc l'affixe de vérifie : . Donc : . Donc a pour affixe : . |
Le carré est un parallélogramme ainsi que . Donc .
Donc l'affixe de vérifie : .
Donc : .
Donc a pour affixe : .
Donc et . Donc .
Donc le point est l'image du point dans la rotation de centre et d'angle .
Conclusion : Le triangle est rectangle isocèle.