Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la suite définie par et .
Ecrivez sous forme trigonométrique et déterminez à l'aide d'une récurrence l'expression de pour en déduire sa limite.
Si , il peut s'écrire sous forme trigonométrique : avec et .
Si , alors et une récurrence évidente montre que : .
Si , alors , donc et une récurrence évidente montre que : .
Supposons maintenant et .
Donc : . Or et .
Donc : , et : car donc .
De même : .
Montrons par récurrence que : .
Initialisation : Elle a déjà été faite pour .
Hérédité : Soit tel que .
Or : , donc . Donc .
Donc : .
Or : et .
Donc : .
Donc : .
Conclusion : .
Or : car et , donc .
Donc : .
Or , donc . Donc .
On compare avec les cas particuliers étudiés au début.
Conclusion : Si avec et , la suite converge vers si , et vers si .