Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la suite définie par
et
.
Ecrivez
sous forme trigonométrique et déterminez à l'aide d'une récurrence l'expression de
pour en déduire sa limite.
Si
, il peut s'écrire sous forme trigonométrique :
avec
et
.
Si
, alors
et une récurrence évidente montre que :
.
Si
, alors
, donc
et une récurrence évidente montre que :
.
Supposons maintenant
et
.
Donc :
. Or
et
.
Donc :
, et :
car
donc
.
De même :
.
Montrons par récurrence que :
.
Initialisation : Elle a déjà été faite pour
.
Hérédité : Soit
tel que
.
Or :
, donc
. Donc
.
Donc :
.
Or :
et
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Or :
car
et
, donc
.
Donc :
.
Or
, donc
. Donc
.
On compare avec les cas particuliers étudiés au début.
Conclusion : Si
avec
et
, la suite
converge vers
si
, et vers
si
.
