Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'équation
:
, où
et
sont deux nombres complexes donnés avec
.
Question
Montrer que les solutions de
ont même argument si et seulement si
.
Démontrez successivement les deux implications.
Dans un sens, exprimez les racines sous forme trigonométrique.
Dans l'autre, calculez le discriminant et les racines.
Remarquons d'abord que les solutions de
ne sont pas nulles car
.
On suppose que les solutions
et
de
ont même argument
.Donc il existe deux réels
>0 et
tels que :
et
.Donc :
et
. Donc
car
.Donc :
est un réel strictement positif. Et
.Donc
.On suppose que
(donc
), donc :
.Le discriminant de l'équation est :
.Donc les solutions de
sont
et
.
, donc
et
sont des réels strictement positifs.Donc
.
Conclusion : Les solutions de
ont même argument si et seulement si
.
Question
Montrer que les solutions de
ont même module si et seulement si
.
Démontrez successivement les deux implications.
Dans un sens, exprimez les racines sous forme trigonométrique.
Dans l'autre, calculez le discriminant et les racines.
On suppose que les solutions
et
de
ont même module
.Donc il existe deux réels
et
tels que :
et
.Donc :
et
.Donc
.Donc :
. Donc :
.On suppose que
. Donc
ou
.Si
, alors
. Donc :
.Si
, le discriminant de l'équation est :
.Donc les solutions de
sont
et
.Les complexes
et
sont conjugués. Donc ils ont le même module
. Donc
.
Conclusion : Les solutions de
ont même module si et seulement si
.
