Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Le but de l'exercice est de résoudre dans l'équation : qui n'a pas de racine évidente.
Question
Calculer . En déduire les solutions de l'équation : .
Ecrivez l'équation sous la forme et factorisez.
.
Or .
Donc l'équation équivaut à : , donc à : .
Donc l'équation équivaut à : ou , équation notée .
L'équation a pour discriminant : .
Les solutions de sont donc : et .
Conclusion : Les solutions de sont , et .
Question
Montrer que, pour tout complexe , il existe deux nombres complexes et (que l'on ne demande pas de calculer) tels que : et .
On connaît la somme et le produit des deux nombres.
Deux complexes et vérifient si et seulement si ils sont solutions de l'équation .
Or dans , toute équation du second degré a des solutions.
Conclusion : Il existe des complexes et tels que et .
Question
Question
En déduire les solutions de l'équation .
Utilisez la première question pour calculer , et, pour faciliter les calculs, démontrez que .
On peut remarquer que . Donc on ne garde que .
On peut remarquer que . Donc si vérifie la première équation, vérifie la seconde.
Et .
Or est un réel. Donc . Or et vérifient . Donc .
Donc et vérifient : , et . Donc est solution de l'équation .
Donc d'après la première question, il y a trois couples avec , donc trois solutions .
, donc .
, donc .
, donc .
Conclusion : L'équation a trois solutions réelles : , et .