Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Le but de l'exercice est de résoudre dans
l'équation
:
qui n'a pas de racine évidente.
Question
Calculer
. En déduire les solutions de l'équation
:
.
Ecrivez l'équation
sous la forme
et factorisez.
.
Or
.
Donc l'équation
équivaut à :
, donc à :
.
Donc l'équation
équivaut à :
ou
, équation notée
.
L'équation
a pour discriminant :
.
Les solutions de
sont donc :
et
.
Conclusion : Les solutions de
sont
,
et
.
Question
Montrer que, pour tout complexe
, il existe deux nombres complexes
et
(que l'on ne demande pas de calculer) tels que :
et
.
On connaît la somme et le produit des deux nombres.
Deux complexes
et
vérifient
si et seulement si ils sont solutions de l'équation
.
Or dans
, toute équation du second degré a des solutions.
Conclusion : Il existe des complexes
et
tels que
et
.
Question
Question
En déduire les solutions de l'équation
.
Utilisez la première question pour calculer
, et, pour faciliter les calculs, démontrez que
.
On peut remarquer que
. Donc on ne garde que
.
On peut remarquer que
. Donc si
vérifie la première équation,
vérifie la seconde.
Et
.
Or
est un réel. Donc
. Or
et
vérifient
. Donc
.
Donc
et
vérifient :
,
et
. Donc
est solution de l'équation
.
Donc d'après la première question, il y a trois couples
avec
, donc trois solutions
.
, donc
.
, donc
.
, donc
.
Conclusion : L'équation
a trois solutions réelles :
,
et
.
